Teoria de Morse

Nome: LUDIMAR COSTA SCHREIDER
Tipo: Dissertação de mestrado acadêmico
Data de publicação: 18/09/2008
Orientador:

Nomeordem decrescente Papel
LEONARDO MEIRELES CÂMARA Orientador

Banca:

Nomeordem decrescente Papel
BRUNO CÉSAR AZEVEDO SCÁRDUA Examinador Externo
LEONARDO MEIRELES CÂMARA Orientador
REGINA MARIA DE AQUINO Suplente Interno
VALMECIR ANTONIO DOS SANTOS BAYER Examinador Interno

Resumo: Uma maneira natural de investigar o espaço no qual estamos vivendo consiste em analisar o que se encontra em torno de nós. Obtemos informações sobre o nosso espaço através das vizinhancas locais. Esta é a arte da topologia, que deduz daquelas observações locais algumas propriedades globais, como diferenciar viver acima de uma esfera de viver acima de um disco. Uma maneira ingênua para classificar espaços topológicos exigiria gerar todos eles e determinar, em seguida,
quando dois são topolocicamente equivalentes. Infelizmente, este problema é complexo demais. Para dimensões superiores a 3, isto não é calculável, ainda que pudessemos utilizar um computador ideal.
Entretanto, existem outras ferramentas que podem descrever as propriedades topológicas e que podem provar, em alguns casos, que dois espaços não são homeomorfos. Por exemplo, se não houver nenhuma homotopia (i.e. deformação contínua) entre dois espaços, estes não podem ser topologicamente equivalentes.
A teoria de Morse é a base de muitas dessas ferramentas e não apenas uma técnica útil, incorporando um grande alcance a idéia, que inter-relaciona a análise e a topologia e, mais recentemente, a física. Isto é, sem dúvida, responsável pela elasticidade da teoria, que mesmo depois de diversas décadas, apesar da simplicidade essencial de sua idéia, parece reemergir e ter um papel crucial em novos desenvolvimentos matemáticos. Em topolgia diferenical, as técnicas da teoria de Morse fornecem uma forma muito direta de analisar a topologia de uma variedade, estudando funções direrenciáveis sobre a mesma. Morse provou que a topologia de uma variedade está relacionada aos pontos críticos de uma função real diferenciável nela definida.
O exemplo mais simples deste relacionamento é o fato de que se a variedade for compacta, então qualquer função contínua definida nela deve ter um máximo e um mínimo. A teoria de Morse permite encontrar a estrutura CW e manipular decomposições sobre variedades, obtendo assim importantes informações sobre a sua homologia. Neste trabalho analisamos os conjuntos de nível de uma função tendo somente os pontos críticos o mais simples possível. Tal função é chamada de uma "função de Morse". A decomposição de M em conjuntos de nível contem uma quantidade surpreendente de informações da topologia de M. Por exemplo, mostraremos como um complexo CW, homotopicamente equivalente a M, pode ser obtido de uma função de Morse. Estudaremos também as desigualdades de Morse. Estas relacionam os pontos críticos da função aos grupos de homologia de M; em particular ela calcula
a característica de F sobre M para uma função de Morse definida em M. Em cada ponto, crítico um tipo especial de carta é construdo, fazendo com que uma função de Morse possa ser vista como uma forma quadrática não degenada. O índice desta forma é chamado de índice do ponto crítico. Estas cartas dão uma análise local completa da função. Exploraremos alguns fatos sobre equações diferenciais.

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