A Formula de Milnor-Jung.
Nome: MICHELLE LIRA DOS SANTOS MOLINO
Tipo: Dissertação de mestrado acadêmico
Data de publicação: 29/03/2012
Orientador:
Nome |
Papel |
|---|---|
| VALMECIR ANTONIO DOS SANTOS BAYER | Orientador |
Banca:
| Nome |
Papel |
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| MAGNO BRANCO ALVES | Examinador Interno |
| THIAGO FASSARELLA DO AMARAL | Examinador Externo |
| VALMECIR ANTONIO DOS SANTOS BAYER | Orientador |
Resumo: Seja C uma curva algébrica plana definida por um polinômio f 2 C[[X; Y ]] e seja P um ponto de C. Estamos interessados em relacionar dois invariantes topológicos fundamentais associados a P, notadamente no caso em que P é um ponto singular de C. O primeiro invariante topológico que estamos interessados em estudar é o número de Milnor que foi introduzido por J. Milnor em [2] no caso de uma hipersuperfície no espaço afim n-dimensional definida por um polinômio. Trata-se do número inteiro positivo é que, falando de maneira informal, mede a complexidade do ponto P como singularidade de C, a saber, µ descreve a multiplicidade de P como solução do sistema de equações fX = fY = 0. Na verdade, Milnor dá (pelo menos) duas interpretações para este número, uma homológica e outra geométrica. A homológica é a seguinte. O número µ é o número de Betti do primeiro grupo de homologia (para o caso de curvas) de uma fibra qualquer da Fibração de Milnor. A geométrica é a seguinte. Cada fibra da Fibração de Milnor tem o mesmo tipo de homotopia de um bouquê de circunferências (no caso de curvas). O número µ é a quantidade de circunferências deste bouquê. O segundo invariante é o número δ introduzido por D. Gorenstein em [1]. Este número também pode ser visto como uma medida da complexidade da singularidade. Embora, no contexto de Gorenstein, tinha um significado aritmético, a saber, é o comprimento de certos ideais em certos anéis completos, ele tem um significado geométrico. No contexto de singularidades de curvas planas, já apontado por Gorenstein, ele pode ser remetido ao clássico teorema de resolução de singularidades de curvas planas de Max Noether de 1883: O número de Gorenstein mede, intuitivamente, o número de pontos duplos centrados em P, uma vez que, num ponto duplo tem-se = 1. Os pontos centrados em P, na linguagem de Max Noether, são seus os pontos 1 infinitamente próximos que surgem no processo de dessingularização. O objetivo da dissertação é apresentar duas demonstrações para a igualdade 2 δ = µ + r - 1 onde r é a quantidade de ramos de C em P. A primeira demonstração que apresentamos é topológica e seguimos o texto Singular Points of Complex Hypersurfaces de J. Milnor [2]. A segunda é puramente algébrica e seguimos o artigo de J. J. Risler, Sur Lideal Jaco-bien dune Courbe Plane [3].
