Perturbações de transformações de intercâmbios de intervalos e fluxos em superficies

Resumo: Abordaremos alguns problemas relacionados à chamada dinâmica unidimensional de transformações, isto é, dinâmica de transformações de um intervalo em si próprio. Em particular, se T é uma transformação de intercâmbio de intervalos típica, pretendemos caracterizar o conjunto das perturbações de T que são conjugadas (ou semi-conjugadas) com T, isto é, que aquelas perturbações que ainda preservam a mesma estrutura de órbitas que T. Por exemplo, tipicamente todas as trajetórias de T são densas no intervalo de definição, desta forma queremos caracterizar as perturbações de T que preservam tal propriedade. Este tipo de problema apresenta diversas aplicações, como por exemplo ao estudo de bilhares em regiões poligonais.

Em [Cobo] mostra-se que é possível obter uma descrição completa do conjunto de todas as transformações de intercâmbio afim de intervalos que são conjugadas a um intercâmbio de intervalos particular T. Vejamos algumas definições e o resultado principal deste trabalho.

Consideraremos só o caso quando em que F preserva orientação, isto é, todas as inclinações são positivas. Denotemos por A(c) o conjunto de todas as t.i.a.is que tem o mesmo vetor de inclinação c em Rm.

Seja T uma transformação de interca^mbio de intervalos fixada. Podemos super que T é unicamente ergódica. Suponha que T esta associada com a partição DT= {0=a1<a2 <a3<... < am-1<am =1 } de [0,1). Seja &#955; o vetor de entradas &#955;i = ai - ai-1, i=1,...,m.

Denotaremos por Caff(T,c) o conjunto das transformações de intercâmbio afim F com vetor de inclinações c e que são conjugadas com T.
Denotaremos também por log c ao vetor (log c1,...,log cm).

De acordo com [Cam-Gut] uma condição necessária para que Caff(T,c) seja não vazio é que log c esteja no complemento ortogonal de &#955; denotado aqui por &#955;&#9524;.

O resultado principal em [Cob] é o seguinte:

Teorema
Existe uma seqüência encaixada de subespaços E1 , E_2, E4= &#955;&#9524;, tais que se F é conjugada com T e com vetor de inclinações c, então:

a)se log c está em E1 então F é C&#8734;-conjugada com T, além disso, F tem uma única medida invariante equivalente com a medida de Lebesgue. O subespaço E1 é uni-dimensional.
b)se log c está em E2 mas não em E1 então F é C1 mas não C2-conjugada
com T, isto é, existe conjugação de classe C1 mas não existe nenhuma
conjugação de classe C2 . F ainda tem uma medida invariante equivalente com a medida de Lebesgue.
c) se log c esta em E4 mas não em E2 então F não pode ser conjugado a T através de uma função absolutamente continua, em particular, F possui uma única medida invariante que é singular com respeito à medida de Lebesgue.

A prova deste Teorema utiliza fortemente resultados em [Zor].

A partir dos argumentos usados na prova do Teorema anterior fica claro que existe um subespaço E3 tal que a sequencia de encaixada E1, E1, E3 , E4= &#955;&#9524;, satisfaz as mesmas propriedades do teorema acima sendo que Caff (T, c) é não vazio quando log c está em E3 mas não foi possível mostrar que existem elementos em Caff (T, c) quando quando log c está em E4 mas não está em E3.. Nos conjecturamos que neste último caso o conjunto Caff (T, c) é sempre vazio o que implica a existência de transformações afins que são semi-conjugadas com T e que, em particular, devem possuir intervalos errantes. Por outro lado, tinha sido conjeturado por G. Levitt que tais exemplos não poderiam existir. Este trabalho esta sendo desenvolvido com o professor Marcelo Viana do IMPA.

2.Extensões do Connecting lemma de Peixoto.

Problema 2. Peixoto caracterizou os campos de vetores Cr estruturalmente estáveis em superfícies orientáveis [Pei]. Ele também conjeturou que estes resultados se estendem para superfícies não orientáveis. Entretanto os seus argumentos falham pois é desconhecido se é possível obter novas conexões de sela –por médio de pequenas perturbações- quando o &#969;-limite de uma separatriz contém propriamente o ponto de sela. Dentro de nosso interesse de pesquisa, pretendemos estudar possíveis extensões do Cr connecting lemma de Peixoto ( r &#8805;2) , para superfícies não orientáveis usando como principal ferramente as transformações de intercâmbio de intervalos.

Data de início: 2009-05-21
Prazo (meses): 24

Participantes:

Papelordem decrescente Nome
Coordenador Milton Edwin Cobo Cortez
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