Fundamentos e Estabilidade de Equações Diferenciais Fracionárias
Nome: DEBORA VIEIRA ARAUJO DAMASCENO
Data de publicação: 22/07/2026
Banca:
Nome |
Papel |
|---|---|
| GINNARA MEXIA SOUTO | Presidente |
| PAULO MENDES DE CARVALHO NETO | Examinador Externo |
| RENATO FEHLBERG JUNIOR | Examinador Interno |
Resumo: Inicialmente, consolidamos os conceitos fundamentais necessários para o desenvolvimento da teoria, incluindo as funções especiais Gama, Beta e Mittag-Leffler, bem como os operadores integrais e diferenciais fracionários de Riemann-Liouville e Caputo. Estabelecemos as principais propriedades desses operadores, como linearidade, semigrupo e as relações entre eles, além de suas transformadas de Laplace.
Em seguida, demonstramos resultados de existência, unicidade e dependência contínua para o problema de valor inicial fracionário no sentido de Caputo. Utilizando os Teoremas de ponto fixo de Schauder e Weissinger, provamos a existência de solução local e sua unicidade sob condição de Lipschitz. Estendemos as soluções locais para soluções maximais via Lema de Zorn, estabelecendo também a boa colocação do problema no sentido de Hadamard.
A parte central do trabalho consiste no desenvolvimento de uma teoria de estabilidade via funções de Lyapunov para equações diferenciais fracionárias não lineares não autônomas. Introduzimos uma derivada fracionária de Dini generalizada de Caputo, que permite trabalhar com funções de Lyapunov apenas contínuas e localmente Lipschitzianas, evitando as complicações das integrais fracionárias de funções compostas. Demonstramos um lema sobre o sinal da derivada de Dini, um resultado de comparação com equações escalares e condições suficientes para estabilidade, estabilidade uniforme e estabilidade assintótica
uniforme da solução nula.
Por fim, apresentamos aplicações dos resultados teóricos, incluindo a resolução da equação logística fracionária e a introdução do controlador PID de ordem fracionária, evidenciando a relevância do cálculo fracionário em problemas práticos.
