A álgebra é uma das principais áreas da matemática, focada no estudo das regras de manipulação de objetos matemáticos. Desde a resolução de equações elementares até o estudo de estruturas mais abstratas como grupos, anéis e outras estruturas algébricas gerais, a álgebra é fundamental para o avanço do conhecimento matemático.

Áreas de Estudo na Álgebra

Estruturas Algébricas: Envolve o estudo de grupos, anéis, campos, módulos e outras estruturas que formam a base para muitos conceitos matemáticos.

Geometria Algébrica: Explora aspectos geométricos, propriedades de interseção e singularidades de conjuntos definidos pelos zeros de polinômios de várias variáveis, como curvas e variedades algébricas.

Álgebra Comutativa: Estuda anéis comutativos e seus ideais, fundamentais para a geometria algébrica e a teoria dos números.

Teoria dos Números: Investiga propriedades e relações entre números inteiros, muitas vezes utilizando ferramentas algébricas.

Interseção com Outras Áreas

A álgebra se relaciona estreitamente com diversas áreas da matemática e ciências aplicadas:

Combinatória: Utiliza técnicas algébricas para resolver problemas de contagem e estrutura.

Geometria Analítica: Emprega álgebra para representar e estudar propriedades geométricas.

Física Matemática Moderna: Aplica conceitos algébricos na modelagem de fenômenos físicos.

Biologia Matemática e Química: Utiliza álgebra para modelar processos biológicos e químicos complexos.

Aplicações Modernas

A álgebra tem aplicações práticas em várias áreas modernas, incluindo:

Criptografia: Usa álgebra para desenvolver algoritmos seguros para a proteção de dados.

Teoria dos Códigos Corretores de Erros: Aplica álgebra para criar códigos que detectam e corrigem erros em transmissões de dados.

Contribuições Recentes

Recentemente, a álgebra tem fornecido contribuições significativas em áreas tecnológicas e científicas, especialmente em segurança digital e comunicação. Seu papel na criptografia e na teoria dos códigos corretores de erros destaca sua importância crescente na era da informação.

Nosso programa incentiva a pesquisa em álgebra, oferecendo um ambiente colaborativo para explorar tanto os aspectos fundamentais quanto as aplicações práticas desta fascinante área da matemática.

Membros

Ivan Kaygorodov

Renato Fehlberg

Thiago Filipe da Silva

Linhas de pesquisa:

• Estruturas livres em anéis de divisão.
• Álgebras não-associativas.
• Teoria algébrica das singularidades
• Saturações Lipschitz de álgebras
• Álgebras n-árias
• Álgebras de Poisson
• Derivações e derivações gerais
• Deformações
• Degenerações
• Superalgebras

A área de Análise matemática se dedica ao estudo de objetos matemáticos, formalizando conceitos como proximidade assintótica, infinitésimos e regularidade. Seus métodos são amplamente aplicados em várias disciplinas da matemática, incluindo geometria diferencial, probabilidade e sistemas dinâmicos.

Subáreas e Aplicações da Análise

Análise Real e Complexa: Estuda funções de variáveis reais e complexas, investigando propriedades como continuidade, derivabilidade e integrabilidade.

Análise Funcional: Foca em espaços de funções e operadores lineares, sendo fundamental na teoria de operadores e em problemas de otimização.

Geometria Diferencial: Aplica técnicas analíticas ao estudo de curvas, superfícies e variedades, explorando suas propriedades geométricas e topológicas.

Probabilidade: Utiliza métodos analíticos para modelar e analisar fenômenos aleatórios, com aplicações em estatística, física e finanças.

Sistemas Dinâmicos: Examina o comportamento a longo prazo de sistemas em evolução, utilizando equações diferenciais e teoria do caos.

Equações Diferenciais

Equações diferenciais são equações que envolvem derivadas de variáveis espaciais e temporais. Elas são cruciais para modelar a maioria dos fenômenos físicos, como:

Evolução de Ondas: Descrevem como as ondas se propagam em diferentes meios.

Propagação de Calor: Modelam a difusão de calor em materiais.

Dinâmica de Fluidos: Investigam o movimento de líquidos e gases.

Objetivos de Estudo

Na análise de equações diferenciais, os principais objetivos incluem:

Existência: Determinar se há soluções para as equações.

Unicidade: Estabelecer se as soluções são únicas.

Regularidade: Examinar a suavidade e outras propriedades analíticas das soluções.

Contribuições e Impactos

A análise tem um impacto profundo e amplo em diversas áreas do conhecimento. Suas técnicas e resultados são essenciais para o desenvolvimento de teorias e aplicações em física, engenharia, biologia e economia. A capacidade de formalizar e resolver problemas complexos, assim como a compreensão profunda de fenômenos naturais, destaca a importância desta área na matemática moderna.

Nosso programa oferece um ambiente rico para a pesquisa em Análise, incentivando a exploração de suas diversas subáreas e suas interconexões com outras disciplinas matemáticas. Convidamos os interessados a se aprofundar e contribuir para esta área fundamental da matemática.

Membros

Daniela Demuner

Fabiano Petronetto

Fabio Julio Valentim

Fernando Pereira Paulucio Reis

Ginnara Mexia Souto

Renato Fehlberg Júnior

Linhas de pesquisa:

• Teoria de operadores diferenciais
• Discretização de operadores diferenciais
• Cálculo fracionário
• Sistemas dinâmicos, impulsos e equações diferenciais
• Dinâmica de germes de difeomorfismo em (C^2,0).
• Análise de equações diferenciais

A geometria diferencial é uma teoria matemática que se dedica ao estudo de curvas, superfícies e variedades diferenciáveis. Esta área é uma ponte entre várias disciplinas, incluindo equações diferenciais, topologia e física, e está atualmente em um período de grande desenvolvimento.

Interseções com Outras Áreas

Equações Diferenciais: A geometria diferencial utiliza técnicas de equações diferenciais para analisar a curvatura e outras propriedades geométricas de superfícies e variedades.

Topologia: A teoria topológica fornece a estrutura fundamental para o estudo de espaços diferenciáveis, permitindo uma análise profunda de suas propriedades globais.

Física: Muitas teorias físicas, como a relatividade geral, são formuladas no contexto da geometria diferencial.

Contribuições Recentes

A geometria diferencial tem sido instrumental na resolução de problemas matemáticos antigos e importantes. Um exemplo notável é a resolução da Conjectura de Poincaré, que foi um marco significativo na matemática. Além disso, constantemente surgem novos problemas de grande relevância, impulsionando o avanço da teoria e suas aplicações.

Topologia

A topologia estuda as propriedades dos espaços topológicos, estruturas onde se pode definir noções de limite e continuidade. Esta área é fundamental para entender como os espaços podem ser transformados e classificados sem alterar suas propriedades essenciais.

Estruturas e Ferramentas

Espaços Topológicos: Estruturas que permitem a definição de conceitos como continuidade e limites.

Homologia/Homotopia: Ferramenta algébrica que associa a um espaço topológico uma sequência de grupos ou anéis, ajudando a distinguir e classificar esses espaços.

Interseções com Outras Áreas

Geometria Diferencial: A topologia e a geometria diferencial se complementam, permitindo a análise de propriedades globais e locais de variedades diferenciáveis.

Sistemas Dinâmicos: A topologia fornece a base para entender o comportamento a longo prazo de sistemas dinâmicos.

Álgebra: A associação de objetos algébricos como a homologia ou grupo fundamental que permite uma análise mais profunda e rigorosa dos espaços topológicos.

Avanços e Relevância

A topologia continua a ser uma área dinâmica e em expansão, com novos conceitos e técnicas surgindo regularmente. A associação de ideias de geometria diferencial, sistemas dinâmicos e outras áreas tem permitido avanços significativos, proporcionando novas maneiras de entender e explorar a estrutura dos espaços topológicos.

Nosso programa valoriza e promove a pesquisa em geometria diferencial e topologia, oferecendo um ambiente estimulante para o desenvolvimento de novas ideias e a resolução de problemas complexos. Convidamos todos os interessados a se envolverem com estas fascinantes áreas da matemática.

Membros

Brayan Cuzzuol Ferreira

Carolina de Miranda e Pereiro

Fernando Pereira Paulucio Reis

José Victor Goulart Nascimento

Leonardo Câmara

Maico Felipe Silva Ribeiro

Marta Batoréo

Renan Mezabarba

Thiago Filipe da Silva

Wescley Bonomo

Linhas de pesquisa:

• Bi-harmonicidade, biconservatividade e superfícies de ângulo constante
• Existência de órbitas periódicas em dinâmica simplética e de contato
• Mergulhos e invariantes simpléticos
• Fibrações de Milnor e topologia das singularidades
• Geometria das folheações holomorfas
• Geometria Lipschitz de singularidades
• Invariância topológica da multiplicidade algébrica de germes de folheações
• Noção categórica do fecho integral para módulos e a Thom regularidade de aplicações analíticas.
• Resíduos de estruturas transversais a distribuições holomorfas
• Simetrias de sistemas dinâmicos
• Teoria de rotação e técnicas de dinâmica topologica
• Topologia geral e teoria dos conjuntos
• Grupos de Tranças de Superfícies
• Teoria de Coincidências e Pontos fixos.

A Matemática Aplicada dedica-se à aplicação de métodos matemáticos em diversas áreas do conhecimento, com o objetivo de resolver problemas práticos por meio da formulação e estudo de modelos matemáticos.

Subáreas e Aplicações

Análise Numérica: Focada na construção, análise e implementação de algoritmos para a aproximação de soluções de problemas matemáticos. Esta área é crucial para resolver equações complexas que surgem em física, engenharia e outras ciências.

Computação Gráfica: Desenvolve ferramentas e técnicas para converter dados em representações visuais através de dispositivos gráficos. É essencial para a criação de gráficos, animações e simulações visuais em várias disciplinas.

Modelagem Matemática: Envolve a criação de modelos matemáticos para simular sistemas reais, permitindo a previsão e análise de seus comportamentos. É amplamente utilizada em ciências naturais, engenharia e economia.

Teoria da Probabilidade

A Teoria da Probabilidade estuda modelos matemáticos que formalizam a ideia de incerteza. Esta área tem uma crescente relevância em diversas disciplinas devido à sua capacidade de modelar fenômenos aleatórios e incertos.

Aplicações e Relevância

Mecânica Estatística: Utiliza probabilidade para entender e prever o comportamento de sistemas físicos compostos por muitas partículas.

Equações Diferenciais Parciais: A probabilidade ajuda a analisar e resolver equações que modelam fenômenos contínuos e dinâmicos.

Estatística: Fundamentada na teoria da probabilidade, a estatística permite a análise e interpretação de dados para a tomada de decisões informadas.

Teoria dos Derivados Financeiros: Utiliza modelos probabilísticos para avaliar e gerenciar o risco em instrumentos financeiros complexos.

Contribuições e Impactos

A Matemática Aplicada e a Teoria da Probabilidade são áreas essenciais que impulsionam o avanço tecnológico e científico. A capacidade de modelar, simular e prever o comportamento de sistemas complexos tem aplicações vastas, desde a engenharia e a física até a economia e as ciências sociais.

Nosso programa oferece um ambiente robusto para pesquisa e desenvolvimento nessas áreas, incentivando a colaboração interdisciplinar e a inovação. Convidamos todos os interessados a explorar e contribuir para o avanço da Matemática Aplicada e da Teoria da Probabilidade, áreas que estão na vanguarda da ciência e da tecnologia.

Membros

Fabiano Petronetto do Carmo

Fabio Julio da Silva Valentim

Gabriel Luchini

João Paulo Costalonga

Valdério Reisen

Linhas de pesquisa:

• Visualização e análise de dados multidimensionais
• Hipergrafos: processamento de sinais e aplicações
• Computação gráfica: escoamento de fluidos
• Modelagem matemática para a simulação de sistemas reais e previsão do comportamento destes sistemas
• Sistemas de partículas interagentes
• Estatística matemática e processos estocásticos
• Fisica-matemática
• Combinatória: teoria de matroides e grafos
• Séries temporais