Aplicação dos Grupos de Tranças no Estudo dos Pontos Fixos de Funções n-Valuadas
Nome: JOÃO MEDEIROS DOS SANTOS NEVES
Data de publicação: 09/02/2026
Banca:
Nome |
Papel |
|---|---|
| BRAYAN CUZZUOL FERREIRA | Examinador Interno |
| CAROLINA DE MIRANDA E PEREIRO | Presidente |
| DANIEL VENDRÚSCOLO | Examinador Externo |
Resumo: Funções n-valuadas são uma generalização do conceito de função onde a imagem de cada ponto do domínio é um subconjunto de exatamente n pontos do contradomínio. O objetivo deste trabalho é estudar resultados existentes sobre pontos fixos de funções n-valuadas, tentando reobtê-los de maneira mais simples e acessível.
Os grupos de tranças, nossa ferramenta principal, foram definidos formalmente pela primeira vez por Emil Artin em 1925 e modelam algebricamente a noção geométrica de tranças que temos do cotidiano. Estes grupos podem ser vistos como os grupos fundamentais de certos espaços chamados espaços de configuração, que são essencialmente os contradomínios das funções n-valuadas. Logo, conhecendo os grupos de tranças de um espaço, podemos extrair propriedades de interesse das funções n-valuadas com contradomínio neste espaço. Resultados típicos incluem uma generalização do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, teoremas de existência de pontos fixos para funções n-valuadas nas esferas e espaços projetivos reais de dimensão par, e uma condição algébrica necessária e suficiente para que seja possível deformar qualquer função n-valuada em outra livre de pontos fixos.
Um invariante importante da teoria de ponto fixo de funções usuais é o chamado número de Nielsen de uma função, que é definido a partir do conceito de índice de ponto fixo e é uma cota inferior para o número de pontos fixos da classe de homotopia da função. Definimos formalmente o índice para uma classe de espaços que inclui todas as superfícies compactas, mostramos que o número de Nielsen é invariante por homotopias e generalizamos o índice e o número de Nielsen para funções n-valuadas. Terminamos aplicando os resultados anteriores a uma classe abrangente de funções 2-valuadas do toro.
