Formas Modulares e o Problema dos Números Congruentes
Nome: ALEXANDRE SILVA DOS REIS
Tipo: Dissertação de mestrado acadêmico
Data de publicação: 29/10/2015
Banca:
Nome |
Papel |
|---|---|
| JOSÉ GILVAN DE OLIVEIRA | Orientador |
| LUCIANE QUOOS CONTE | Examinador Externo |
| VALMECIR ANTONIO DOS SANTOS BAYER | Examinador Interno |
Resumo: A teoria das curvas elípticas constitue um dos temas mais versáteis em
matemática, com abrangência desde a teoria dos códigos corretores de erros,
passando pela geometria diferencial de superfícies mínimas, até a teoria dos
números. Por exemplo, ela foi um dos importantes ingredientes usados na de-
monstração do teorema de Fermat, por Andrew Wiles em 1994. No presente
projeto de dissertação, as curvas elípticas serão abordadas de duas formas. Na
primeira, elas serão introduzidas a partir da ação do grupo linear no semiplano
superior do plano complexo. Isto permitir ́a considerar os chamados grupos modulares, com a finalidade de introduzir as chamadas formas modulares e também as curvas modulares. Em particular, por meio do invariante modular, descreve-se o espaço de moduli das curvas elípticas definidas sobre o corpo dos números complexos. Na segunda, as curvas elípticas serão abordadas por meio da função P de Weierstrass, associada a um reticulado do plano complexo. Neste caso, a partir das duas funções P e P, obtêm-se o corpo das funções meromorfas duplamente periódicas. Daí surge uma motivação natural para definição de curvas. Elípticas sobre um corpo qualquer. Como aplicação dos resultados desenvolvidos, consideraremos o problema dos números congruentes, isto é, os números inteiros que são dados como áreas de triângulos retângulos, tendo nacionais como medidas dos seus lados. Tal problema está relacionado com a estrutura de grupo de certas curvas elípticas, e a sua solução, em geral, depende da chamada conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer. Essa conjectura é um dosseis famosos problemas do milênio, estabelecidos pelo instituto Clay.
