Sobre a geometria Lipschitz de germes de funções analíticas

Resumo: Em [HP] Henry e Parusinski apresentam invariantes bi-Lipschitz que asseveram a existência de moduli para a classificação bi-Lipschitz de germes de funções em (C2,0). Por outro lado, a classificação analítica das funções quasi-homogêneas é realizada em [K] e [CS], sendo esta última a classificação que possibilita a comparação entre os invariantes analíticos e os invariantes de Henry e Parusinki. Em [CR] Câmara e Ruas mostraram que existe um recobrimento ramificado entre o espaço de moduli analítico e os invariantes de Henry e Parusinski. Com isto generalizam o resultado de Fernandes e Ruas [FR], mostrando que qualquer família contínua de funções quasi-homogêneas com invariante de Henry e Parusinski fixado tem que ser analiticamente trivial. É de se observar que neste trabalho são apresentados exemplos explícitos de funções com tipos analíticos distintos e mesmos invariantes de Henry e Parusinski. Como consequência, se houver outros invariantes para a classificação Lipschitz das funções quasihomogêneas, então estes têm de ser discretos. Neste trabalho também são apresentadas cotas maximais para os possíveis tipos analíticos distintos com mesmo invariante de Henry e Parusinski. Paralelamente a este trabalho, em [TP] L. Paunescu e M. Tibar
obtiveram invariantes Lipschitz discretos associados aos “gradient canyons” de funções analíticas em duas variáveis. Aparentemente estes dois invariantes esgotam a lista de possíveis invariantes Lipschitz para germes de funções analíticas em duas variáveis. A primeira de nossas propostas é estudar este tema em colaboração com o
Prof. Adam Parusinski a fim de verificar se estes invariantes realmente esgotam todas as classes Lipschitz para um tipo analítico fixado. A partir dos resultados obtidos em [CR], estamos trabalhando em outras questões levantadas Pelo Prof. Adam Parusinki (Université de Nice) quando da nossa palestra em Bedlevo. Estas são justamente sobre
a classificação de funções com mais de uma par de Puiseux, ou mesmo das funções topologicamente quasi-homogêneas, i.e., as que possuem apenas um par de Puiseux, mas não necessariamente possuem o mesmo tipo analítico das quasi-homogêneas. Neste momento estamos nos dedicando ao estudo em famílias de perturbações de germes de funções quasi-homogêneas reais, com o objetivo de generalizar os resultados obtidos em [FR2]. Em recente exemplo enviado ao proponente, Parusinski usa os campos de Kuo para construir famílias que não atendem às hipóteses descritas em [FR2], mas que são Lipschitz triviais. Isto sugere que é possível um refinamento das condições obtidas em [FR2] para a classe Lipschitz não fortemente Lipschitz.

[CR] L. Câmara and M.A.S. Ruas, On the moduli space of quasi-homogeneous functions, preprint
submitted, arXiv:2004.03778 [math.CV], 2020.

[CS] L. M. Câmara and B. Scárdua (2018) A Comprehensive Approach to the Moduli Space of Quasihomogeneous Singularities. In: Araújo dos Santos R., Menegon Neto A., Mond D., Saia M., Snoussi J.
(eds) Singularities and Foliations. Geometry, Topology and Applications. NBMS 2015, BMMS 2015.
Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, vol 222, pp 459-487 . Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-73639-6_15

[FR2] A. Fernandes and Maria Ruas, Rigidity of bi-Lipschitz equivalence of weighted homogeneous function-germs in the plane, Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), 1125–1133;

[HP] J.-P. Henry and A. Parusinski, Existence of moduli for bilipschitz equivalence of analytic functions,
Comp. Math. 136 (2003), 217–235.

[K] C. Kang, Analytic types of plane curve singularities defined by weighted homogeneous polynomials,
Trans. Amer. Math. Soc. 352, 9, (2000), 3995–4006.

[PT] L. Paunescu & M. Tibar, Concentration of curvature and Lipschitz invariants of function of two
variables. J.London Math.Soc. 100 (2019) no.1, 203-222

Data de início: 05/09/2021
Prazo (meses): 24

Participantes:

Papel	Nome
Coordenador	LEONARDO MEIRELES CÂMARA